二種二次試験機械制御、H15問3,4、補足。

ここの補足、です。
問題文、解答内容については、ここ参照で。


問３
【解説】
（１）電圧形インバータ
電 圧形インバータは、サイリスタまたはトランジスタなどのスイッチング素子を用いて直流をスイッチングして方形波の交流を供給する方式である。電圧形イン バータは、与えられた回路図に示されるように直流がわに大容量のコンデンサが並列に接続されて、その両端の電圧がほぼ一定となっている。また、題意からイ ンバータはＰＷＭ制御されるので、交流側の電圧波形は、不等列のパルス幅からなる方形波となる。ちなみにＰＷＭ（Pulse Width Modulation：パルス幅変調）制御は、スイッチング素子の導通期間を可変する制御方式の事である。

電圧形インバータは、交流側から見たインピーダンスが低く、電圧源として作動する。

電圧形インバータは、スイッチング素子と並列に帰還ダイオードを接続して誘導性負荷の遅れ電流成分を直流側に帰還させる必要がある。

理 解を容易にするため第２図に示す単相電圧形インバータにおいてＰＷＭ制御を行わないものとして考える。誘導性負荷に流れる電流は、第３図に示すように電圧 波形より遅れて変化する。これは負荷のインダクタンスと電源との間で無効電力を授受するためである。しかしながらＩＧＢＴは、電流方向が一方向であるた め、負荷のインダクタンスに蓄えられた無効電力を電源側に帰還させることができない。このためＩＧＢＴと逆並列に設けたダイオードによって負荷のインダク タンスに蓄えられた無効電力を電源側に帰還させている。

（２）電流形インバータ
電流形インバータは、直流側に大容量のリアクトルを接続して、直流電流が一定値になるようにしている。このため電流形インバータから出力される電流波形は、方形波となる。電流形インバータは、交流側から見た回路のインピーダンスが高く電流源として作動する。

ＩＧＢＴを用いた電流形インバータの回路構成は、第１図に示すとおりであり、電圧形に設けられていた帰還ダイオードがない。

ＩＧＢＴ と直列に接続されるダイオードは、ＩＧＢＴに加わる逆方向電圧を阻止する役割を担うものである。三相電圧形インバータの場合は、各アームの上下の素子間で 転流が行われるが、直流のプラス側およびマイナス側に接続されているため、電流の連続性が確保できなければならず、それゆえＰＷＭ制御を行わない場合、各 スイッチング素子は、第４図に示すように１２０°期間ずつ、６０°の位相差で順番に導通する。電流形インバータは、このような導通動作をするため１２０° 導通形とも呼ばれる。

本問の場合、インバータがＰＷＭ制御されるので、電流形インバータの電流出力波形は、負荷電流によってその幅が変化する不等幅のパルス列を組合わせた方形波となる。

電 流形インバータは、スイッチング素子に流れる電流が一方向なのでスイッチング素子がオフの期間、逆方向の電圧が印加される。一般にスイッチング速度の比較 的速い素子は、逆耐圧が低い。このため逆方向電圧がスイッチング素子に加わるのを素子する目的でスイッチング素子と直列にダイオードを挿入する。

（３）ＩＧＢＴ
ＩＧＢＴ は、Insulated Gate Bipolar Transistor（絶縁ゲート・バイポーラ・トランジスタ）の頭文字をとったものである。ＩＧＢＴは、主電流の制御用のバイポーラトランジスタと、電 流の制御用のＭＯＳＦＥＴとを一体化して形成した半導体素子である。

問４
【解説】
（１）は、ラプラス変換の基本公式を知っていれば容易に解ける問題である。つまり、定数Ａ、指数関数のｅ^-atをラプラス変換すれば、それぞれＡ／ｓ、１／（ｓ＋ａ）となる。ちなみに、与えられたインパルス応答ｇ（ｔ）の波形は、第１図に示すようになる。

（２）のフィードバック系における閉ループ伝達関数は、与えられた制御系における前向き伝達関数がＧ（ｓ）であり、一巡伝達関数がＫＧ（ｓ）であるから、容易に求めることができる。

Ｗ（ｓ）＝Ｃ（ｓ）／Ｕ（ｓ）＝前向き伝達関数／（１＋一巡伝達関数）
　＝Ｇ（ｓ）／｛１＋ＫＧ（ｓ）｝

なお、この導き方を忘れてしまった場合は、次のように丁寧に式を立てて求めていけば良い。この場合、第２図に示すようにＧ（ｓ）への入力信号Ｅ（ｓ）とおく。

Ｅ（ｓ）＝Ｕ（ｓ）－ＫＣ（ｓ）
Ｃ（ｓ）＝Ｅ（ｓ）Ｇ（ｓ）

これらより、

Ｃ（ｓ）＝｛Ｕ（ｓ）－ＫＣ（ｓ）｝Ｇ（ｓ）
　＝Ｕ（ｓ）Ｇ（ｓ）－ＫＣ（ｓ）Ｇ（ｓ）
Ｃ（ｓ）｛１＋ＫＧ（ｓ）｝＝Ｕ（ｓ）Ｇ（ｓ）
Ｗ（ｓ）＝Ｃ（ｓ）／Ｕ（ｓ）
　＝Ｇ（ｓ）／｛１＋ＫＧ（ｓ）｝

【別解】
（３）の安定限界におけるＫの値およびそのときの持続振動の角周波数ωは、次のように求めてもよい。

Ｗ（ｓ）の式で示される制御系の特性方程式は、式の分母を０とおいた式である。

ｓ^3＋３ｓ^2＋２ｓ＋Ｋ＝０

この特性方程式からラウス数列を作ると、次のようになる。
ｓ^3｜　　　１　　　　　２
ｓ^2｜　　　３　　　　　Ｋ
ｓ^1｜（６－Ｋ）／３
ｓ^0｜　　　Ｋ

ラウスの安定判別法によれば、制御系が安定であるためには特性方程式のｓの全ての係数が正であり、かつ、ラウスの数列の１列目の係数がすべて正であればよい。したがって、制御系が安定であるＫの範囲は、（６－Ｋ）／３＞０およびＫ＞０を満たせば良い。

よって、Ｋの範囲は、

（６－Ｋ）／３＞０
６－Ｋ＞０
∴６＞Ｋ＞０
となる。したがって安定限界となるＫの値はＫ＝６である。

次に、特性方程式のｓをｊωと置き換えて時間領域に変換すれば次式を得る。
－ｊω^3－３ω^2＋ｊω＋Ｋ＝０
－３ω^2＋Ｋ＋ｊω（２－ω^2）＝０

この式から、－３ω^2＋Ｋ＝０、ｊω（２－ω^2）＝０を得る。これらの式を解けば、

Ｋ＝３ω^2
２－ω^2＝０
∴ω＝√２（ｒａｄ／ｓ）　　（∵ω＞０）

したがって、安定限界となるゲインＫは、求めたωを代入すれば、

Ｋ＝３ω^2＝６

【指導】
単位インパルス関数は、幅ａ、高さ１／ａで面積が１となる波形であり、ａ→０とした極限波形をいう。この単位インパルス関数δ（ｔ）は、単位ステップ関数をｕ（ｔ）は、とすれば、次式で定義できる。

δ（ｔ）＝ｌｉｍ［1/a｛ｕ（ｔ）－ｕ（ｔ－ａ）｝］
（ｌｉｍの範囲はａ→０）

単位インパルス関数を定義に従ってラプラス変換すると次式に示すようになる。

Ｌ［δ（ｔ）］＝ｌｉｍ∫δ（ｔ）ｅ^-stｄｔ
（ｌｉｍ：ａ→０　∫：０～∞）
　＝ｌｉｍ１／ε・∫｛ｕ（ｔ）－ｕ（ｔ－ａ）｝ｅ^-stｄｔ
　＝ｌｉｍ（１－ｅ^-as）／ａｓ＝ｌｉｍ（ｓｅ^-as）／ｓ＝１

単位インパルス関数は、デルタ関数とも呼ばれて、数学的には幅が０で高さ（大きさ）が∞の関数である。

δ（ｔ）＝０（ｔ≠０）
δ（ｔ）＝∞（ｔ＝０）

以上です。