二種二次試験機械制御過去問、H16問3,4、補足。

ここの補足、です。
問題文、解答内容については、ここ参照で。


問３
【解説】
与えられた表に記載されている単相混合ブリッジ整流回路の直流出力電圧Ｅｄと総合力率ｐｆを示しておく。

単相混合ブリッジ整流回路は、交流電圧ｅの極性が反転した瞬間、ダイオードが逆バイアスされて電流を遮断する。したがって、直流出力電圧Ｅｄは、

Ｅｄ＝１／π・∫Ｅｍ ｓｉｎωｔｄ（ωｔ）（積分範囲α～π）
　＝Ｅｍ／π［－ｃｏｓωｔ］（α～π）
　＝Ｅｍ／π（－ｃｏｓπ＋ｃｏｓα）
　＝Ｅｍ／π（１＋ｃｏｓα）

となる。次に交流電源側の皮相電力Ｓは、（イ）で求めた交流側電流の実効値Ｉを用いれば、

Ｓ＝ＥｍＩ／√２＝（ＥｍＩｄ／√２）・√（１－α／π）

となる。よって、総合力率ｐｆは、（エ）で求めた有効電力Ｐを用いて次式のように求まる。

ｐｆ＝Ｐ／Ｓ＝｛ＥｍＩｄ／π・（１＋ｃｏｓα）｝／｛（ＥｍＩｄ／√２）√（１－α／π）｝
　＝√２／π・｛（１＋ｃｏｓα）／√（１－α／π）｝

問４
【解説】
ラウスの安定判別法で用いる数列は、特性方程式がｓの多項式として、

ａｎｓ^n＋ａｎ－１ｓ^n-1＋…＋ａ１ｓ＋ａ０＝０

と与えられたとき、次のようにして求めた数列のことをいう。

ｓ^n　　｜ａｎ　　　ａｎ－２　ａｎ－４
ｓ^n-1　｜ａｎ－１　ａｎ－３　ａｎ－５
ｓ^n-2　｜ａ３１　　ａ３２　　ａ３３
ｓ^n-3　｜ａ４１　　ａ４２　　ａ４３

ただし、
ａ３１＝（ａｎ－１ａｎ－２－ａｎａｎ－３）／ａｎ－１
ａ３２＝（ａｎ－１ａｎ－４－ａｎａｎ－５）／ａｎ－１
ａ４１＝（ａｎ３１ａｎ－３－ａｎ－１ａｎ３２）／ａｎ３１
ａ３２＝（ａｎ３１ａｎ－５－ａｎ－１ａｎ３３）／ａｎ３１

制御系の安定判別法には、上述したラウスの安定判別法のほか、フルビッツの安定判別法がある。フルビッツの安定判別法も特性方程式ｓの係数に着目して安定判別を行うものである。フルビッツの安定判別法は、制御系が安定であるための条件として、

１．特性方程式のｓのすべての次数の係数が存在し、かつ同符号であること。
２．フルビッツの行列式Δｉの値がすべて正であること。

をあげている。

１の条件は、ラウスの安定判別法と同じであるのでフルビッツの行列式について説明する。フルビッツの行列式Δｉは、特性方程式におけるｓの各次数の係数を用いて次数のように定義したものである。

Δｉ
　　｜ａｎ－１　ａｎ－３　　…　　　…　｜
　＝｜　ａｎ　　ａｎ－２　　…　　　…　｜
　　｜　　０　　　　０　　　…　　　…　｜
　　｜　　０　　　　０　　　０　　　ａ　０　｜

フルビッツの行列式を用いて設問（２）を解くと次のようになる。
Δ１＝|１４|＝１４＞０

Δ２
　＝｜１４　　Ｋ　｜
　　｜４０　Ｋ＋１｜
　＝１４×（Ｋ＋１）－４０×Ｋ＞０

∴Ｋ＜１４／２６

このようにフルビッツの安定判別法を用いてもラウスの安定判別法と同じ結果を得ることができる。

設問（４）で用いたラプラスの最終値定理は、時間関数において無限時間経過後の最終値を次式に示すようにｓ関数の極限値から求めることができると言う定理である。

ｌｉｍ ｆ（ｔ）＝ｌｉｍ ｓＦ（ｓ）
（ｔ→∞、ｓ→０）

制御系に単位ステップ信号を入力した時に得られる定常偏差を特に定常位置偏差という。そのほか、時間に比例して変化するランプ信号または時間の２条に比例して変化するパラボラ信号を入力したときの定常偏差は、それぞれ定常速度偏差および定常加速度偏差といわれる。

以上です。