制御の問題の補足。

ここの補足です。
手書きには式を載せていますので、そちらもご覧ください。

・特性方程式の次数が高い場合、その根を求める事が困難であるため、
開ループ伝達関数の極と零点の配置から特性方程式の根を、
作図的に求めようとする方法を根軌跡という。
言い換えれば根軌跡は制御系において、例えば制御系のゲインや時定数などを、
連続的に変化させた時、ｓ平面における特性方程式の根の動き（根軌跡）を調べるものであり、
主として機械装置の位置や速度制御を目的とする制御系（サーボ系）に用いられる事が多い。

手書き図に示す開ループ伝達関数の一般解は、G(s)H(s)は、
K(ｓ－ｚ１）（ｓ－ｚ2）…（ｓ－ｚｍ）／｛(ｓ－ｐ１）（ｓ－ｐ2）…（ｓ－ｐｎ）｝
ただし、ｎ≧ｍ

ここから、添付の手書き（１）のような式に変形できる。

根軌跡は、開ループ伝達関数のゲイン定数Kを０～∞まで変化させたとき、
（１）式を満足するｓがｓ平面で描く軌跡を求めるものである。
（１）式の開ループ伝達関数は、（手書きにあるように）

(ｓ－ｚ１）（ｓ－ｚ2）…（ｓ－ｚｍ）／｛(ｓ－ｐ１）（ｓ－ｐ2）…（ｓ－ｐｎ）｝＝－1／K

であり、K=0の時、Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）の極、すなわち、ｓ＝ｐ１，ｐ２…ｐｎが特性方程式の根となる。
また、Ｋ＝∞の時、ｓ＝ｚ１，ｚ２…ｚｎがおよび（ｎ－ｍ）個のｓ＝∞の無限遠点が特性方程式の紺になる。
したがって、ゲイン係数Ｋを０から∞まで変化させると、根軌跡は開ループ伝達関数の極から出発し、
零点または無限遠点に終わる。
また、特性方程式の根は、手書き（２）式に示すように一般に、実数係数の多項式として表現される。

この式で表される特性方程式の根が複素数となる場合、
その根は共役複素数となる。
したがって、根軌跡は実軸に対して対象になる。