二種二次試験電力管理、H12問3,4、補足。

ここの補足、です。
問題文、解答内容については、ここ参照で。


問３
【解説】
一般に３心ケーブルの静電容量は第１図のようになり、図１の場合のＣ１は第２図を意味する。また、図２の場合のＣ２は、同様に第３図となる。Ｃ０、Ｃ２の式より、Ｃ０およびＣｍはそれぞれ次式で表される。

Ｃ０＝Ｃ１／３（μＦ）

Ｃｍ＝（Ｃ２－Ｃ０）／２
　＝（３Ｃ２－Ｃ１）／６（μＦ）

いま、三相平衡電圧を加えた場合の１心あたりの静電容量（作用容量）Ｃは、次式で表される。

Ｃ＝Ｃ０＋３Ｃｍ
　＝（９Ｃ２－Ｃ１）／６（μＦ）

ここで作用静電容量とは、解答の図のΔ結線の相互容量ＣｍをＹに換算して３Ｃｍとし、これと対地静電容量Ｃ０を加えたもの（第４図参照）であり、平衡三相電圧を加えた場合の１心あたりの静電容量を示すものである。

次にＸＣ（Ω）の容量リアクタンスにＶ（Ｖ）の正弦波電圧を加えたとき、容量リアクタンスに流れる電流の大きさ（実効値）は、次式のように表される。

Ｉ＝Ｖ／ＸＣ（Ａ）

ここで、ＸＣ＝１／（ωＣ）　（ただし、ω＝２πｆ）で、これが充電電流である。

三相電圧を加えたときのケーブルの充電電流をＩＣとすれば、

ＩＣ＝（Ｖ／√３）／（１／ωＣ）
　＝Ｖ／√３・ωＣ＝２πｆＣＶ／√３

となり、このＣに解答のＣ＝（９Ｃ２－Ｃ１）／６を代入すればよい。

問４
【masha解説】
別解をば。自分的には、こちらのやり方のほうがわかりやすい気がしてますが…（手書もこのやり方）。三相平衡、ですので、三相の基準を求め、そこから相回転で各電流を求める、と。
また、各電流の表現として、極力|Ｉ|∠ｔａｎ^-1（Ｉｅ／Ｉｒ）で表現した。
（Ｉｅ：電流虚数成分、Ｉｒ：電流実部成分、|Ｉ|：電流の大きさ）
ここで、
Ａ×Ｂ＝|Ａ|∠θ×|Ｂ|∠φ～|Ａ|・|Ｂ|∠（θ＋φ）
Ａ／Ｂ＝|Ａ|∠θ／|Ｂ|∠φ～|Ａ|／|Ｂ|∠（θ－φ）
（Ａ、Ｂはベクトルで、ａｘ＋ｊａｙ、ｂｘ＋ｊｂｙとする）
θ＝ｔａｎ^-1（ａｙ／ａｘ）、φ＝ｔａｎ^-1（ｂｙ／ｂｘ）
|Ａ|＝√（ａｘ^2＋ａｙ^2）、|Ｂ|＝√（ｂｘ^2＋ｂｙ^2）
である。
これは、
Ａ×Ｂ＝ａｘｂｘ－ａｙｂｙ＋ｊ（ａｘｂｙ＋ａｙｂｘ）
の大きさ、位相を求めても同じとなる。よって、ベクトルの乗算・除算が簡単な乗除算と加減算で計算できることを示しており、この問題のように色んな電流を相互に求めるとき（位相が一致してなかったり）には、こちらの方が簡単かと思われます。

（１）まず、Ｉａｍの大きさは、メインで求めているように、１００Ａである。ここで、力率が√３／２の遅れ、つまり、電源と電流の位相角は－３０°ということがわかる。よって、Ｅａを基準として時のＩａｍ，Ｉｂｍ，Ｉｃｍは、それぞれ、
Ｉａｍ＝１００∠（０－３０）°＝１００∠－３０°
Ｉｂｍ＝１００∠（－１２０－３０）°＝１００∠－１５０°
Ｉａｍ＝１００∠（１２０－３０）°＝１００∠９０°
これを極座標表示に変換しておくと、
Ｉａｍ＝１００∠－３０°＝１００（√３／２－ｊ１／２）
Ｉｂｍ＝１００∠－１５０°＝１００（－√３／２－ｊ１／２）
Ｉａｍ＝１００∠９０°＝１００（ｊ１）

（２）力率を１とするということは、ａ相で考えると、Ｉａｍの無効電流を０とすればよい。
つまり、Ｉａｃ＝－（１００×－ｊ１／２）＝ｊ５０
とすればよい。よって、Ｉａｃ＝５０∠９０°
ここから、Ｉｂｃ，Ｉｃｃを相順に従って求めると、
Ｉｂｃ＝５０∠（９０－１２０）°＝５０∠－３０°
Ｉｃｃ＝５０∠（９０＋１２０）°＝５０∠－１５０°

ここで、
Ｉａｃ＝Ｉｘｙ－Ｉｚｘ
である。また、Ｉｘｙ，Ｉｙｚ，Ｉｚｘの関係は、Ｉｘｙを基準とすると、
Ｉｘｙ＝|Ｉｘｙ|∠０°＝|Ｉｘｙ|（１＋ｊ０）
Ｉｚｘ＝|Ｉｘｙ|∠１２０°＝|Ｉｘｙ|（－１／２＋ｊ√３／２）
であるので、
Ｉａｃ＝Ｉｘｙ－Ｉｚｘ＝|Ｉｘｙ|・（３／２－ｊ√３／２）
　＝√３|Ｉｘｙ|∠１５０°
（∵√（３^2＋√３^2）／２＝√３、
　ｔａｎ^-1（√３／－３）＝１５０°
また、上記よりＩａｃ＝５０∠９０°より、
Ｉｘｙ＝－Ｉａｃ／（√３∠１５０°）
　　＝５０／√３∠（－９０°－１５０°）
　　＝５０／√３∠１２０°

三相対称、より
Ｉｙｚ＝５０／√３∠（１２０－１２０）°
　　＝５０／√３∠０°
Ｉｚｘ＝５０／√３∠（１２０＋１２０）°
　　＝５０／√３∠－１２０°

後は、これらを用いてベクトル図を描けば良い。
（大きさと角度で表現しておけば、ベクトル図もイメージが湧きやすいはずです）

以上です。