０７年理論試験問題補足。

ここの補足、です。

問４
（１）
電圧で式を立てており、ここにはコンデンサ電圧が入る。コンデンサでは、
ｑ＝ＣＶ、ｉ＝ｄｑ／ｄｔ→ｑ＝∫ｉｄｔ
の関係があり、これより、ｖｃ＝（１／Ｃ）∫ｉｄｔ となる。

（２）（３）
微分方程式Ｒ１ｉ＋（１／Ｃ）∫ｉｄｔ＋Ｒ２ｉ＝Ｅを解く。ここで、回路解析上、Ｒ１とＲ２は直列接続であるため、Ｚ＝Ｒ１＋Ｒ２として解く。微分方程式の両辺をラプラス変換すると、
Ｅ／Ｓ＝ＺＩ＋Ｉ／ＳＣ＋ｑｃ（０）／ＳＣ。ここで、ｑｃ（０）／Ｃは、初期条件よりＶ０であるため（ｑｃ（０）＝ｃＶ０より）、
Ｉ＝（Ｅ－Ｖ０）／｛Ｓ＋（１／ＣＺ）｝
両辺を逆ラプラス変換すると（Ｚを元に戻す）、
ｉ＝（Ｅ－Ｖ０）／（Ｒ１＋Ｒ２）ｅ^-t/C(R1+R2)
よって、ｖ＝Ｒ２ｉ＝（Ｅ－Ｖ０）・Ｒ２／（Ｒ１＋Ｒ２）ｅ^-t/C(R1+R2) となる。

（４）
ｔ→∞で、ｅ^-t/C(R1+R2)＝ｅ^-∞＝１／∞＝０。よって、ｖは初期値
（Ｅ－Ｖ０）Ｒ２／（Ｒ１＋Ｒ２）
で、時刻とともに０に漸近する。

（５）
問４より、
ｖｃ＝Ｅ－（Ｒ１＋Ｒ２）ｉ＝Ｅ－（Ｅ－Ｖ０）ｅ^-t/C(R1+R2)
であり、ｔ＝０で、ｖｃ（０）＝Ｖ０
また、ｔ＝∞で、ｖｃ（∞）＝Ｅ
よって、初期値Ｖ０で、Ｅに漸近する曲線がｖｃの電圧を表す。

※十分時間経過→Ｃのインピーダンスは∞（直流に対し１／ωＣ＝∞；コンデンサの構造を考えれば明白）→回路には電流が流れず、電圧のみが発生する。（最終的にｖｃがＥに漸近するのは、Ｒ１とＲ２と∞の直列回路→電圧は全て∞：コンデンサにかかると考えればＯＫ）また、時刻０において、Ｃのインピーダンスは０→回路はＲ１，Ｒ２の直列であり、電流ｉ（０）＝（Ｅ－Ｖ０）／（Ｒ１＋Ｒ２）となる事は、こちらも明白。このあたりの関係を使えば（４）（５）あたり、または初期値を表す（２）あたりもわかると思います（微分方程式を解ける必要はあまりない）。また、結局はＲＣ直列回路であるため、時定数がＲＣとなる一般解を知っていれば、微分方程式を全く解くことなく導出が可能です。