OHM練習問題 機械 フィードバック問２～補足

ここの補足、です。
問題文、解答内容については、ここ参照で。

フィードバック制御　問２
【解説】
設問の図に示される他励直流発電機において入力電圧Ｅｉ、出力電圧Ｅｏおよび界磁電流Ｉの瞬時値をそれぞれｅｉ（ｔ）、ｅｏ（ｔ）、ｉ（ｔ）とおけば、界磁回路において次式に示す微分方程式が成立する。

Ｒｉ（ｔ）＋Ｌ・ｄｉ（ｔ）／ｄｔ＝ｅｉ（ｔ）

一方、電機子回路においては次式が成立する。

ｅｏ（ｔ）＝Ｃｉ（ｔ）

ここで、両式をそれぞれ初期値０としてラプラス変換すると次式が得られる。

ＲＩ（ｓ）＋ｓＬＩ（ｓ）＝Ｅｉ（ｓ）
∴Ｉ（ｓ）＝Ｅｉ（ｓ）／（Ｒ＋ｓＬ）

Ｅｏ（ｓ）＝ＣＩ（ｓ）

これらを整理すると、求める伝達関数Ｇ（ｓ）を得ることができる。

Ｅｏ（ｓ）＝ＣＥｉ（ｓ）／（Ｒ＋ｓＬ）
∴Ｇ（ｓ）＝Ｅｏ（ｓ）／Ｅｉ（ｓ）
　　＝Ｃ／（Ｒ＋ｓＬ）
　　＝（Ｃ／Ｌ）／｛Ｓ＋（Ｒ／Ｌ）｝

次に与えられた制御系の周波数伝達関数Ｇ（ｊω）は、Ｇ（ｓ）の伝達関数のｓをｊωに置き換えることで求めることができる。よって、次式に示すようになる。

Ｇ（ｊω）＝…＝Ｃ／（Ｒ＋ｊωＬ）

周波数応答のゲイン|Ｇ|は、Ｇ（ｊω）の絶対値であるから、

|Ｇ|＝|Ｃ／（Ｒ＋ｊωＬ）|
　　＝Ｃ／√（Ｒ^2＋（ωＬ）^2｝

と求まる。次に、Ｇ（ｊω）の分母を有理化すると、

Ｇ（ｊω）＝…＝Ｃ／｛Ｒ^2＋（ωＬ）^2｝・（Ｒ－ｊωＬ）

よって、位相角∠Ｇは、次式に示すようになる。

∠Ｇ＝ｔａｎ^-1（－ωＬ／Ｒ）
　　＝－ｔａｎ^-1（ωＬ／Ｒ）
※虚部が負、実部が正→∠Ｇは第四象限にある角

題意から界磁回路は、界磁巻線抵抗ＲとインダクタンスＬからなる直列回路であるので、その時定数はＴ＝Ｌ／Ｒである。また、入力電圧が界磁回路の時定数の逆数に等しい角周波数ωで、正弦波状に振動するのであるから、入力電圧の角周波数は、ω＝１／Ｔ＝Ｒ／Ｌになる。したがって、このときの出力電圧の振幅は、|Ｇ|のゲイン倍になる。よって、この式にω＝Ｒ／Ｌを代入すると…、

Ｃ／｛Ｒ^2＋（Ｒ／Ｌ・Ｌ）^2｝
＝Ｃ／√２Ｒ

また、このときの入力に対する出力の位相角θは、∠Ｇの式に入力電圧の角周波数ω＝Ｒ／Ｌを代入すれば求めることができる。

θ＝－ｔａｎ^-1（Ｌ／Ｌ）＝－４５°

となる。この式の負号は、入力より出力が遅れることを示している（位相遅れ）。

以上です。