OHM練習問題 機械 安定判別問２～補足

ここの補足、です。
問題文、解答内容については、ここ参照で。

制御系の安定判別（その２） 問２
【解説】
フルビッツの安定判別法は、特性方程式がｓの三次式以上であるときや、ベクトル軌跡を得ることが難しい場合などに適用される。

フルビッツの安定判別法は、制御系の特性方程式がｓの有理多項式で与えられたとき、制御系が安定する条件として次の２点をあげている。

（１）特性方程式におけるｓの各次数の係数がすべて存在し、かつ、同符号であること
（２）フルビッツの行列式Ｈｉの値が、すべて同符号であること

なお、フルビッツの行列式Ｈｉは、フルビッツの行列Ｈを用い、次のように定義されている。

Ｈ＝※１参照

具体的には、次式に示すようになる。

※２参照

例えば、図２に示す制御系が安定となるコントローラのゲインＫの値を、フルビッツの安定判別法を用いて導いてみよう。

ここでコントローラの伝達関数をＧ（ｓ）、制御対象の伝達関数をＨ（ｓ）とすれば、制御系全体の閉ループ伝達関数Ｗ（ｓ）は、

Ｗ（ｓ）＝Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）／｛１＋Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）｝
　＝…
　＝１０Ｋ（ｓ＋１０）／｛ｓ^3＋６ｓ^2＋（１０Ｋ＋３）ｓ＋１００Ｋ－１０｝
　　　…１．

となる。閉ループ伝達関数Ｗ（ｓ）の特性方程式は、１．式の分母を０とおけばよい。

ｓ^3＋６ｓ^2＋（１０Ｋ＋３）ｓ＋１００Ｋ－１０＝０　…２．

この特性方程式から制御系の安定性をフルビッツの安定判別法で判定する。

まず、フルビッツの安定判別法における（１）の条件を満たすには、次式が同時に成立する必要がある。

１０Ｋ＋３＞０　…３．
１００Ｋ－１０＞０　…４．

３．４．式からコントローラのゲインＫの値は
Ｋ＞－３／１０＝－０．３
またはＫ＞１０／１００＝０．１　…５．

となる。よってＫ＞０．１の条件を満たせばよい。

次に（２）の条件を満たすＫの値を求めるため、フルビッツの行列式を計算する。

Ｈ１＝６＞０
Ｈ２＝６×（１０Ｋ＋３）－（１００Ｋ－１９）
　＝－４０Ｋ＋２８＞０

∴Ｋ＜２８／４０＝０．７　…６．

よって、５．６．式からこの制御系が安定であるコントローラのゲインＫは、

０．１＜Ｋ＜０．７

と求まる。

以上です。