OHM練習問題 機械 制御系の応答問３～補足

ここの補足、です。
問題文、解答内容については、ここ参照で。

制御系の応答　問３
【解説】
むだ時間要素は、図５に示すように入力信号Ｒ（ｓ）に対して所定時間だけ遅れて出力信号Ｃ（ｓ）が出力される伝達要素である。この図に示すように時刻Ｌだけ遅延するむだ時間要素の伝達関数は、次式で示すことができる。

Ｇ（ｓ）＝ｅ^-Ls　…１

１式のｓにｊωを代入して時間関数に直してオイラーの公式を適用すると次式が得られる。

Ｇ(ｊω）＝ｅ^-jωL
　＝ｃｏｓ（ωＬ）－ｊｓｉｎ（ωＬ）　…２

２式の実数部Ｒｅ［Ｇ（ｊω）］および虚数部Ｉｍ［Ｇ（ｊω）］は、それぞれ、

Ｒｅ［Ｇ（ｊω）＝ｃｏｓ（ωＬ）
Ｉｍ［Ｇ（ｊω）＝－ｓｉｎ（ωＬ）

となる。したがって、むだ時間要素の周波数伝達関数Ｇ（ｊω）は次式となる。

Ｇ（ｊω）＝１∠ｔａｎ^-1｛－ｔａｎ（ωＬ）｝
　＝１∠－ωＬ＝∠－ωＬ　…３

この式が示すように、むだ時間要素のゲイン|Ｇ（ｊω）|は、１であり、位相角∠Ｇ（ｊω）は、角周波数に比例して増加することがわかる。

また、Ｒ－Ｌ回路の周波数伝達関数からゲイン|Ｇ（ｊω）|と位相角∠Ｇ（ｊω）は、それぞれ次式のようになる。

|Ｇ（ｊω）|＝Ｒ／√｛Ｒ^2＋（ωＬ）^2｝　…４
θ＝－ｔａｎ^-1（ωＬ／Ｒ）　…５

ここで角周波数ωを変化させたときのゲインおよび位相角を求めると表３が得られる。

Ｒ－Ｌ回路は、この表に示したように角周波数ωが増加するにしたがって位相角の遅れが増加し、ω＝∞のときに－９０°となる。位相角の変化は、５式に示されるように三角関数の正接（タンジェント）の変化に等しい。

以上です。