OHM練習問題 機械 制御系の応答問４～補足

ここの補足、です。
問題文、解答内容については、ここ参照で。

制御系の応答　問４
【解説】
制御系の特性を判定する為、特殊な信号を制御系に与えたとき出力される制御量の変化を捉えることが行われる。このとき制御系に与える信号には、単位インパルス信号（unit impulse signal）、単位ステップ信号（unit step signal）およびランプ信号（ramp signal）などがある。

（１）単位インパルス信号
単位インパルス信号は、短い時間幅（τ）の期間中に、大きさが１／τの値を有する信号である。つｓまり単位インパルス信号は、その面積が１になる。特にτ→０の極限を取った信号は、ディラック（Dirac）のδ関数（delta function）と呼ばれる数学的な関数信号である。つまりδ関数δ（ｔ）は、

δ（ｔ）＝∞：ｔ＝０
　　　　　０：ｔ≠０

であり、∫δ（ｔ）ｄｔ＝１（積分範囲は－∞～∞）と定義される。つまりこの関数はきわめて短い時間に極めて大きな値を有していることを示している。

このような単位インパルス信号δ（ｔ）をラプラス変換すると次式が得られる。

Ｌ［δ（ｔ）］＝∫δ（ｔ）ｅ^-stｄｔ
　＝∫δ（ｔ）ｅ^-stｄｔ（０－～０＋）
　　　　∫δ（ｔ）ｅ^-stｄｔ（０＋～０∞）
　　　　　＝１

次図６に示す一次遅れ要素Ｇ（ｓ）に入力信号Ｒ（ｓ）として単位インパルス関数を与えたときの出力信号Ｃ（ｓ）を求める。単位インパルス信号をラプラス変換した値は１であるから出力Ｃ（ｓ）は、

Ｃ（ｓ）＝Ｒ（ｓ）／Ｇ（ｓ）
　　＝１・１／（１＋Ｔｓ）＝１／Ｔ／｛ｓ＋（１／Ｔ）｝

となる。したがって出力Ｃ（ｓ）の時間変化ｃ（ｔ）は、上式を逆ラプラス変換して、

ｃ（ｔ）＝Ｌ^-1［Ｃ（ｓ）］
　　＝１／Ｔ・ｅ^-(t/T)

となる。Ｔ＝１のときの出力ｃ（ｔ）は、図７に示すように徐々に最終値である０に近付くように変化する。

（２）単位ステップ信号
単位ステップ信号ｕ（ｔ）は、時刻ｔ＝０で単位値１になる信号である。つまり単位ステップ信号ｕ（ｔ）は、

ｕ（ｔ）＝０：ｔ＜０
　　　　＝１：ｔ≧０

である。

単位ステップ信号ｕ（ｔ）をラプラス変換すると次式のようになる。

Ｌ［ｕ（ｔ）］＝∫ｕ（ｔ）ｅ^-stｄｔ＝∫ｅ^-stｄｔ（０～∞）
　　＝［－１／ｓ・ｅ^-st］＝１／ｓ

（３）ランプ信号
ランプ信号は、時間に比例して増加する信号である。すなわち比例定数をａとすればランプ信号ｆ（ｔ）は、次式のように表すことができる。

ｆ（ｔ）＝ａｔ

ランプ信号ｆ（ｔ）をラプラス変換すれば次式となる。

Ｌ［ｆ（ｔ）］＝∫ｆ（ｔ）ｅ^-stｄｔ＝∫ａｔｅ^-stｄｔ（０～∞）
　　＝ａ［－ｔ・ｅ^-st／ｓ］＋∫（ａｅ^-st／ｓ）ｄｔ
　　＝［ａｅ^-st／ｓ^2］１／ｓ


以上です。